Помогите найти

Люди где достать учебник по Macromedia Flash MX 2004, а то с кнопками ничерта не получается.
Самое простое решение - в книжном магазине.
Спасибо большое, а в нете???
Да есть руководство по этой программе-
у меня помоему диск где-то завалялся.
Вот только не помню где...
Ну если чё, то на днях проинформирую.
у нее по моему в комплекте есть интерактивные уроки... так что мож ниче не качать
Cпасибо, насчёт интер. уроков, всё облазил про кнопки ничего не отыскал, да и желательно чтобы на русском было.
Спрашивай на сециальных сайтах типа flasher.ru
Чем тебя не устраивает гигантский хелп, встроенный в флэш? Я там и выучился.
Да я англ. знаю но не совсем хорошо, вот еслибы на русском
Ищется на тему "Причины преступности в России". Весь Рунет уже обыскал.
Я на эту тему реферат на экзамене по обществознанию сдавал, сам качал, ток удалил уже.
Ищи лучше.
Мне послезавтра здавать, а нынешний не устраивает. Вот в аврале ищу, может кто подсобит.
У тебя на ПК не остался сохраненный р. ?
Друже, мне б твои проблемы =)))) Мне завтра сдавать курсовую, а я только-только начал оформлять титульный лист и вчера вечером выбрал тему))
Нихт везед ! Может еще что знаете ?
Я за день до экзамена (а точнее за 3 часа, ночью дело было) только скачал... И на 5 сдал... Так шо не парься
У нас препод бывший военный, с ним оч. строго.
HELP.
У мя по ОБЖ полковник в запасе... Ниче..
Search продолжается...
http://7referatov.net/download.php?id=13553

http://www.netdiplom.ru/readyi2a1a2.asp?id=20455

http://www.5ballov.ru/referats/preview/26373/5

http://www.dipmaker.ru/readyi2a1a3.aspx?id=20455

http://referat.allserver.ru/?i=4123864

Ток тут в о сновном платные. Но чего не сделаешь ради курсовой ?
Курсов. больно запарно для "послезавта". Мне бы на рефератик небольшой или докладик натнуться.
Все равно СпасиБо, Some.
Блин, я ж находил. Куда он делся !? Ток у меня тема была "Преступность в России". Но это не особо важно, там и про причины было.
А это ?

http://referat.wwww4.com/?name=10997

http://www.referats.net/pages/referats/newage/Detailed/26574.html
Если у тебя реферат был от лица бывшего заключенного, там где он предлогал отменить уг. кодекс и многих освободить- то такой у меня уже есть.
Только что скчал реферат с 5баллов- вроде нужно почитать...
ReDoX

20.06.07 18:16Если у тебя реферат был от лица бывшего заключенного, там где он предлогал отменить уг. кодекс и многих освободить- то такой у меня уже есть.


Нет
ЖЖжжжж... аль, но не то, т.е. про прошлое.
Search in progress.
:) Подключаем спецслужбы
Ну судя по всему придется защищать свой старый реферат :).
2ReDoX
Я конечно понимаю все, что лень и что это нах не нужно, но...Не пробовал сам написать?)))
Ты че это ж больно многа букафф и сложных фраз...абр...рб..а-б-б-ревиатур и т.д.
Ух, я забил в поисковике тему своей курсовой и тут же почувствовал себя охрененно прилежным студентом)))
2ReDoX
Напоминает. "Ты чо этож этими...какаих там... мышгами работать нада! Тукать!"
Читал где то такое)))
У меня уже после 4- х экзаменов москг устал :).
Проверь мыло. Прочитай чё cкинул.
СпасиБо, сейчас проверю...
Вот блин скачал вроде в тему а оказалось энто нарезанный реферат " Криминальные проблемы современной России и ее лесного сектора "
Все равно ничего не пришло :).
Ладно короче, пойду учить старый...
20.06.07 18:18 - ты этот пост читал?
Да, читал, скачал там 3 реферата все не в тему. Уже начал учить свой бывший реферат.
Люди, плиз, помогите, можете подсказать, где можно скачать пособие по тому, как решать матрицы. Просто в школе я х.и пинал, пока эту тему проходили, а теперь в универе щас эта тема,а я ничего об этих матрицах не знаю.

ПС: с ответами, типа, гугл рулит, выпей йаду и т.п. идите в ****.
Оооо, наш чел !
Как я понимаю ты тоже, как и я поступил в ВУЗ и первые тумы у Вас по мате- это матрицы ?
Короче сам парился на них первые 2- 3 недели, но потом Слава Богу "въехал", сейчас вектора проходим...
ААА, редокс, помоги! Объясни дурачку что с этими матрицами делать!!! ПЛИЗЗЗЗ!!!
едит. я тока понял что нужно из последующей строки вычитать предыдущую, там типа C3:=С3-2С2 и тп. А откуда брать этм самые формулы(или как там их), по коротым и надо вычитать из одной строки другую.
Млин МАТРИЦЫ это же самая легкая тема! кАК ЕЕ МОЖНО НЕ ПОНЯТ???
Вы вот лучше скажите где взять пособие по ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ??? Млин я Дубье в этой теме! Матрицы решаю за 5 минут а интегралы ваше не дорубаю...
ААА, Сектор! Помоги ты чем можешь!
Lil Весло Jon
Покажи хотя бы что именно тебе решить надо!
Я бы помог если бы знал что именно!
че такое то вапще,
я токо фылм знаю,
Матрица,
там есчо Нео,
агентов щелкает.
Lil Весло Jon
эх, как же твое серое стекловолокно.
ivanzer эт вроде с 10 класса начинается..но я не знаю точно...у нас это было на втором курсе в колледже...и ша вот недавно повторяли...
Ну ладно весло... Даю материла. ПО КОТОРОМУ УЧИЛСЯ Я САМ :
http://www.chemometrics.ru/materials/textbooks/matrix/#ch101
матрица классный фильм
Пакман
ЖЖешь :) Ессесно.
б.л.я.ть яж школу то закончил,
че-то пропустил,
по математеке пять,
ну дела.
Сектор

я хочу сам уметь их решать!
А вапще, к примеру вот простенький примерчеГ:
| 1 2 3 4 |
|-3 2 -5 -13|
| 1 -2 10 4|
|-2 9 -8 25|
решение его у меня есть, но до меня не может допереть, что из чего там выходит!
а весло тебе нафега,
ч е за корабль строишь,
куда поплыл.
интегралы придумал какойто сцуко Кибердрочер
Ну и что с ней делать ? Нужно высчитать обратную матрицу ?
| 1 2 3 4 |
|-3 2 -5 -13|
| 1 -2 10 4|
|-2 9 -8 25|
внатуре матрица,
кино.
Иванзер, будешь учиться в Вузе- поймешь зачем математика :) .
а как зделать,
чтоб зеленные,
и палзли,
вниз,
нет вверх.
Ну и что с ней делать ? Нужно высчитать обратную матрицу ?

честно, я хз что с ней делать, знаю тока что ответ 301
Иванзер, будешь учиться в Вузе- поймешь зачем математика :) .
, блин, да я учусь,
но Тринети, не встретил еще,
че-то.
Для меня САМОЙ тяжелой из матриц тем была ПЕРЕМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ.
Я понял, что можно перемн. только те матрицы, если кол- во столбцов 1-й совпадает с кол. строк во 2-й, а дальше такой запар начинается. Короче что на что премножть я понял, но иногда бывают ТАКИЕ запарные числа (особенно дроби- АХТУНГ), что надоедает их все считать...
301
нет цыфра ничего не значит,
ничего.
честно, я хз что с ней делать, знаю тока что ответ 301
Скорее всего нужно перемножить главную диагональ матрицы на поббочную, вродеее ...
читаю матрицу,
читаю,
аген слева,
осторожней.
Я вообще учусь на Менеджера по Туризму и Имиджмейкерство, матека нам не очень- то и нужна, но у нас по ней ЭКЗАМЕН :) .
так вот именно!
я хочу понять что да как в этих матрицах до того, как начнуцца какие-нить сложные примеры. К тому же через полторы недели рейтинг!
а я на комьютерной безопасности учусь, у нас будет 5 выдов математики(пока 3), а я и школьную програму толком не знаю
Кстати практически никто так и не сказал мне в Институте, для чего же нужны матрицы...
НО ! Если будешь работать с 3D объектами и рисунками, то там без матрц и вектров нереално...
как для чего,
чтоб спасти человеческий люд,
от агрессивных машин.
какого порядка надо решить матрицу ать её революцию
Матрицы в школе не проходил, но после зимней сессии обещают. А нас тупо грузят модулями с параметрами.
ладно народ, спасибо всем за оказанную мне помощь, а я пошёл учить матрицы!
N-forcer
мой тебе совет: НЕ ЗАБРАСЫВАЙ СИЛЬНО ШКОЛЬНЫЕ УРОКИ!
Познай ее,
ты исбранный,
от тебя зависят наши жизни,
старушка пифия тебе поможет,
но астерегайся смита.
и мой тебе савет,
бей машинам в процесор.
Я закончил школу...Сейчас на первом курсе. Механика и системы управления, специальность баллистика.
03.10.07 22:54 Иванзер, будешь учиться в Вузе- поймешь зачем математика :) .
РЕД НУ ТЫ СМОРОЗИЛ! Я УЖЕ 3-й курс учусь на вышке и никак не пойму НАХ...Я ЭТ ВАЩЕ НАДО! Я НЕ УЗНАЛ ЗА ПОСЛЕДНИЕ Годы ни одной професси глде бы это пригодалось! Это нам надо для того чтобы было за что содрать налоги=))))))))))
Помню такое дело- на экзамене мне чел нашел определитель, сам я так и не разобрался с ними до конца. На втором курсе их, к счастью нет...
To Sector: математика, физика и прочая байда дается в вузах для общего, мать его, развития...Развивает мышление, умение искать решения и прочее...
Мы решали так: матрицу ЛЮБОГО порядка преводили к матрице 3-го порядка а там уже легче легкого...просто перемножение и сложение вычитание...если что-то не выходит тогда надо прибегать к матрицам обратного порядка...но эт не для средних умов...эт 3 лекции=)) ваще в матрицах главное одно: узнать алгоритм, а все остальное это БРЕД! Не обязательно учить все способы любую матрицу можно решить одним любым способом, просто потребуются некоторые преобразования...лан это ты узнаешь на 2 или 3 курсах а пока не грузись слишком сильно! Со временем поймешь...главное эт уметь решать а не знать зачем оно надо!
2 Media Mishka: Все что мы учим в школе дается ток для развития и для того чтобы нас потом ВЗЯЛИ на вышку, а вот уже на вышке можно действительно изучить что-то то что нам потребуется, хотя я лично учусь ради диплома, и моя будушая профессия никак не связана с нынешней учебой=))
ну вы ребят, надаблопостили,
омсторожней,
ото задушат шарфиками,
как меня,
а я пошол,
погружусь в матрецу,
не нервану,
а и туда и туда,
хде мой,
смитоинголятор.
Глупо...Хотя у меня такая же фигня получается, но я после второго иду заочно на маркетинг, пр и рекламу...
ваще в матрицах главное одно: узнать алгоритм, а все остальное это БРЕД!
Воо ! И не только в матрицх- в матике вцелом ! Ведь все решается элементарно, по алгоритмам и в соотв. с формулами !
М., состоящая из одной строки, называется строкой, из одного столбца — столбцом ета строчка миня убивает)какой сталбец кудаон капец сабрался?)
а вот те пасобие http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/074/415.htm
гугль рулит)
А мне физика не для общего развития, у меня это главный предмет. Так есть техники в теме или одни гумнонитарии собрались?
REDOX а такой же учебник по ИНТЕГРАЛАМ ЕСТЬ?
2 N-forcer Их есть у нас! Физика для меня - самая важная наука, хотя сейчас я связан с одной её областью - МЕХАНИКА! И, м@ть её, курсовой по Деталям Машин. Пипетс.
Сектор
Я ЭТ ВАЩЕ НАДО! Я НЕ УЗНАЛ ЗА ПОСЛЕДНИЕ Годы ни одной професси глде бы это пригодалось!
Это для того, чтобы твой мозг стал работать более менее продуктивно... Хотя, какая-нибудь дискретная математика может его и убить...:)

А вообще, операции над матрицами - довольно простая тема... Потом начнется аналитическая геометрия... линейные пространства... теоремы... еще и мат. анализ ко всему прочему (у меня он был отдельным курсом)... так что весело будет, на сессии...
2 Сектор
Млин, я не знаю, могу поискать, но тока в гуглях, как и все. Просто в школе я интегралы решал как орехи щелкал, о там были доволльно простые, а сложные мы Еще не начали изучать.
Помогите!Нужен ГДЗ или что-то в этом роде. Обшарил ггугел, рамблер, яндекс-ноль. Помогите а то убюьсь об доску!
Рыцарские замки модель,замок как крепость и как жилище
Посмотри здесь может что то подойдет, а вообще палазий по поисковикам.
Дайте ссылку на ГДЗ к учебнику 10 класса Колягина, Сидорова, Ткачевой, Федоровой, Шабунина. Срочно нужно!
http://www.otbet.ru/gdz/Al10/0/
Этот учебник?
http://slovo.ws/resh/001/10/01/index.html
такой?
Да вообщем тут нужен доклад по математике,но не конкретно о ней,а что бы упоминалось в контексте, ну и соответственно было очень интересно,и было на страницы 4 хотяб,благодарю :)
Я иссяк :( Уже гуглил...
Если будет что то " Факты математических ошибок повлекших к катастрофам" или что нибудь ещё похожее,но пожалуйста,отпостите.
И попрошу без флуда...хотя...вы всёравно не выполните мою просьбу...
э. ну вот.. это про один из разделов математики.

Геометрия —важный раздел математики. Ее возникновение уходит в глубь тысячелетий и связанопрежде всего с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностьючеловека и наблюдением окружающего мира. Об этом свидетельствуют названиягеометрических фигур.

Например,название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик),от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова. Отгреческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин«линия» возник от латинского «линум» (льняная нить). И факты геометрии сначалаимели опытное происхождение.

Еще 5 тыс. летназад древние египтяне знали, что если сделать на веревке 12 узелков на равныхрасстояниях и натянуть ее в форме треугольника, то получится прямой угол. И этобыло очень важно для правильной разметки плодородных земель в долине Нила. Вегипетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах того времени мы находимдругие геометрические факты, найденные опытным путем при измерении земельныхучастков, постройке зданий и т.д.

А в 5-м в. дон.э. произошел решительный поворот в развитии геометрии. И связан он с именемФалеса, уроженца города Милет. Этот купец в свободное время занималсяматематикой. И сделал величайшее открытие: обнаружил, что многие геометрическиезакономерности можно получать не опытным путем, а с помощью рассуждения(доказательства). Это формулируют так: накрест лежащие углы, получающиеся припересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равны. Фалес доказал и ряддругих теорем. Благодаря его открытию геометрия к 3му в. до н. э. становитсянаукой, в которой имеется небольшое число аксиом (первоначальныхпредположений), а все остальные факты (теоремы) устанавливаются с помощьюдоказательств. За Фалесом большой вклад в развитие геометрии внесли Евдокс,Евклид, Архимед.

И, вообще,говоря словами великого итальянского ученого Г. Галилея, «геометрия являетсясамым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей идает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Если намотатьвплотную (в виде спирали) веревку сначала на полусферу, а затем свернуть еевнутри круга такого же радиуса (рисунок), то окажется, что для полусферы нужнаверевка вдвое длиннее. Это показывает, что площадь полусферы в два раза большекруга. Конечно, это не доказательство, а лишь опытное подтверждение данногофакта. Но греческие ученые нашли и математическое доказательство.

Древнегреческийученый Эратосфен с помощью геометрии измерил длину окружности земного шара. Онобнаружил, что, когда Солнце стоит в Сиене (Африка) над головой, в Александрии,расположенной в 800 км, оно отклоняется от вертикали на 7 . Эратосфен заключил,что из центра Земли Солнце видно под углом 7 и, следовательно, окружностьземного шара равна 360:7 х 800=41 140 км.

Свыше двухтысячелетий Евклид, давший особенно удачное и стройное изложение геометрии, былнепререкаемым законодателем в этой области математики. Немецкий философ И. Кантсчитал геометрию Евклида единственно возможной. Было, однако, место вевклидовом изложении геометрии, которое не удовлетворяло математиков. Этоединственность параллельной к данной прямой, которую можно провести в плоскостичерез данную точку А. Евклид считал это положение аксиомой, некоторыематематики пытались доказать этот факт как теорему. Однако проходили века, адоказательства найти не удалось.

Решил загадкупараллельности профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский, которыйопубликовал свое открытие в 1826 г. Несколько позже к тем же выводам пришливенгерский математик Янош Бояи и немецкий «король математики» К. Гаусс. Этиученые установили, что единственность параллельной невозможно доказать кактеорему. Ведь если допустить возможность провести через точку более однойпрямой, не пересекающейся с данной, то мы придем к другой геометрии,неевклидовой, в которой, однако, не будет никаких противоречий. Эту геометриюназывают сегодня геометрией Лобачевского.

Заменив аксиомупараллельности противоположным утверждением (при сохранении остальных аксиомЕвклида), мы придем к новой геометрии, которая во многом не согласуется снашими привычными наглядными представлениями, но тем не менее не содержитникаких логических противоречий. Все трое ученых не только были убеждены всправедливости этой идеи, но и доказали десятки теорем неевклидовой геометрии.Особенно существенно развил ее Лобачевский.

В геометрииЛобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180 . Два перпендикуляра кодной прямой все дальше отходят друг от друга. И еще много фактов есть в этойгеометрии, не похожих на те, о которых говорится в школьных учебниках. И все женикаких противоречий в этой геометрии нет. А вскоре математики открыли многодругих геометрий. И все они нужны. А евклидова геометрия, которую изучают вшколе, — самая простая из всех и в то же время самая нужная.

Геометрическиезнания широко применяются в жизни — в быту, на производстве, в науке. Припокупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния допредмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными вамтеоремами; при изготовлении технических чертежей — выполнять геометрическиепостроения. И если ты, юный читатель, хорошо изучил курс геометрии, то неостанешься безоружным, когда при решении практических задач потребуетсяприменить геометрические теоремы или формулы.
Спасибо,я ценю то,что ты пытаешься мне помочь! Спасибо...
Но мне нужен доклад,косвенно относящийся к математике, и не просто описания какого то раздела математики...
Дык, математика в себя много чего включает.. тебе алгебра нужна?
Нет, не алгебра. Это должен быть доклад, косвенно задевающий математику. Т.е. не должна быть чистая математика..
Ах да,и биографии учёных тоже не нужны....
Как привить любовь к математике, или Задачи с неодинаковыми цифрами


Легко сказать "привить", ведь у многих детей к математике прямо-таки аллергия. Вот взгляните, видите, они по улице идут в своеобразных майках на которых красуется "Ненавижу математику!"
Кто виноват? Мы с вами. Упустили момент, когда математику следовало преподнести в занимательной форме.
Только что, 04.10.2005, на форуме "Методика и технология: Математика" прочитал: "Дети с удовольствием выполняют задания по занимательной математике, которые предлагают современные пособия. Однако в связи с дефицитом времени на уроке данные пособия используются в исключительных случаях. МОУ СОШ №13 Миронова С.Г."
Математика без занимательного - это не математика!
В отечественных и зарубежных математических пособиях издавна помещались всевозможные головоломки, поскольку привлечение занимательного материала оживляло учебный процесс.
Из дошедших до наших дней древних рукописей ("Русская Правда", "Учение им же ведати человеку числа всех лет" и других) известно, что математические знания на Руси были распространены по крайней мере уже в 10–11 веках.
"На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение (конец 10 века) славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации. В греко-славянской системе нумерации буквы алфавита служили одновременно и числовыми знаками, только при этом над буквой ставили знак титло", – отмечает Б.В.Гнеденко в "Очерках по истории математики в России" (М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1946, с.17). Вот некоторые единицы древнего счёта: 1 – един, 10 – десять, 100 – сто, 1 000 – едина тысяча, 1 000 000 – едина тьма, 1 000 000 000 000 – един легион и т.д.
О существовании математических навыков у русских людей начала второго тысячелетия говорит также содержание международных договоров.
Только в 16–17 веках в России получила распространение специальная рукописная математическая литература. Как правило, она носила конкретный практический характер, так как предназначалась для землемеров, купцов, торговцев, т.е. всех тех, кто по роду своей деятельности должен был уметь оперировать большими числами.
До наших дней дошло очень мало старинных документов. Из сохранившихся рукописей 17 столетия – не более трёх посвящённых арифметике и геометрии; значительно больше сборников включали в себя и естественнонаучные сведения; также известны и две общеобразовательные энциклопедии – "Азбуковники". Подобно западноевропейским мыслителям, отечественные авторы разделяли науки на 7 "свободных мудростей": Грамматику, Диалектику, Риторику, Музыку, Арифметику, Геометрию и Астрономию. При этом арифметику определяли так: "Арифметика, еже есть счётная мудрость, в седми мудростях пятая, свободная перед Богом".
Интересно, что математическая терминология рукописей 17 века существенно отличалась от нынешней. Слагаемые назывались перечнями, их сумма – исподним большим перечнем, уменьшаемое – заёмным перечнем, вычитаемое – платёжным перечнем, разность – остатком, делимое – большим перечнем, делитель – деловым перечнем, частное – жеребейным перечнем, остаток – остаточной долей, а сомножители и их произведение специальных наименований не имели.
Тогда же были впервые описаны многие из забавных задач, включённых позднее в 18 веке в учебники по математике. Многие из них настолько совершенны, что без изменений дошли до наших дней. Взять, к примеру, замечательный приём умножения однозначных чисел на 9 с помощью пальцев обеих рук, которым сейчас владеет любой школьник. Или определение загадочного числа 143, которое при умножении на 777 даёт в итоге 111 111. Или выявление свойств числа 481. Сюда же относится и чудесная головоломка "Волк, коза и капуста", а также остроумная задача "Сколько раз совместятся стрелки?", которая произвела огромное впечатление на зрителей в телевизионной игре "О, счастливчик!" в 2001 году. Этот ряд можно продолжать и продолжать.
Подобные задачи приводились в конце математических рукописей и рассматривались как арифметические развлечения. Часть их имела западное происхождение и была заимствована из сочинения Баше де Мизерака, изданного во Франции в 1612 г. – например, задачи "О плотниках", "О яйцах", "О хождении юношей", "О льве, волке и псе". Вот трактовка последней из них: "Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хощешь ведати, сколько бы они все три – лев и волк и пёс – овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми."
1703 г. – важная веха в истории отечественной математики. Именно тогда в Москве был издан учебник выдающегося русского математика Леонтия Филипповича Магницкого "Арифметика, сиречь наука числительная", который на протяжении полувека оставался лучшим учебником по математике и способствовал распространению математических знаний в России. Очень высоко оценил книгу Михаил Васильевич Ломоносов (он знал её наизусть). Магницкий даёт принципиально новое определение арифметики, характеризуя её как искусство: "Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретённое и изложенное". Любопытна терминология учебника, удержавшаяся в отечественных учебниках до конца 18 века. Все числа первого десятка названы перстами, круглые числа – суставами, а все остальные числа – сочинениями. Занимательным задачам был отведён целый раздел учебника: "Об утешных некиих действах, чрез арифметику употр######емых".
В дальнейшей популяризации математики в России и разработке занимательных задач велика роль швейцарского учёного Леонарда Эйлера, который в 1727 году был приглашён в Петербург и назначен адъюнктом по математике Петербургской Академии наук. Одно из интереснейших изобретений Эйлера – латинские квадраты (1782 г.).
В самом конце 18 века стали появляться брошюры, целиком заполненные забавными вопросами, загадками и задачами. Пожалуй, первой стала книга "Гадательная арифметика для забавы и удовольствия" (СПб., 1789). Она представляла собой небольшое собрание занимательных задач (менее 50): на отгадывание задуманных чисел, на переправы, переливание жидкостей, угадывание числа лет и др.




тоже нормально. Это пойдет? Тут, правда, математика в посредственной форме...
Вооод,это уже ближе к тебе, но всё равно не то....
Но это ближе!Ещё меньше математики...
а как тебе вот это?

ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ПОЯВЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ.

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века — палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом — собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки.

Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век неолит.

Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники все больше вытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте, пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанные на долгие сроки.

Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых “терминов и для некоторых пространственных образов.

Числовые термины, выражающие некоторые из “наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум”, как сказал Адам Смит, медленно входили в употребление. Впервые они появляются скорее как качественные, чем количественные термины, выражая различие лишь между одним (или, вернее, “каким-то”—“какой-то” скорее, чем “один человек”) и двумя и многими. С понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения: 3 путем сложения 2 и 1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 путем сложения 2 и 3.

Развитие ремесла и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки или обеих рук—обычный в торговле прием.

Пальцевый счет, то есть счет пятками и десятками, возник только на известной ступени общественного развития. Но раз до этого дошли, появилась возможность выражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большие числа. Так возникла примитивная разновидность арифметики. Четырнадцать выражали как 10 + 4, иногда как 15 - 1. Умножение зародилось тогда, когда 20 выразили не как 10 + 10, а как 2 * 10. Подобные двоичные действия выполнялись в течение тысячелетий, представляя собой нечто среднее между сложением и умножением.

Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом.

Человек неолита обладал так же острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже — обработка металлов вырабатывали представление о плоскостных и пространственных соотношениях.
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ XVII СТОЛЕТИЯ.

Стремительное развитие математики в эпоху Возрождения было обусловлено не только “счетным уклоном” (Rechenhaftigkeit) купеческого класса, но и эффекгивным использованием и дальнейшим усовершеиствованием машин. Восток и классическая древность пользовались машинами, машинами вдохновлялся гений Архимеда. Однако существование рабства и отсутствие экономически прогрессивного городского уклада жизни сводили на нет пользу от машин в этих более древних общественных формациях. На это указывают труды Герона, в которых есть описание машин, но только предназначенных для развлечения или мистификации.

От машин путь вел к теоретической механике и к научному изучению движения и изменения вообще. Античность уже дала трактаты по статике, и исследования по теоретической механике нового времени, естественно, опирались на статику классических авторов. Задолго до изобретения книгопечатания появлялись кпиги о машинах, сначала эмпирические описания (Кизер (Кyеsеr), начало пятнадцатого века), затем более теоретические, как киига Леона Баттисты Альберти об архитектуре (ок. 1450 г.) и рукописи Леонардо да Винчи (ок. 1500 г.). В рукописях Леонардо в зародыше содержалась вполне механистическая теория природы.

В поисках новых изобретений иногда непосредственно приходили к математическим открытиям. Знаменитытм примером является работа “Маятниковые часы” (Horologium Oscillatorium, 1673г.) Xристиана Гюйгенса. В ней в поисках лучшего способа измерения времени рассмотрены не только маятниковые часы, но изучаются также эволюты и эвольвенты плоской кривой.

Гюйгенс был голландцем, человеком зажиточным и в течение ряда лет жил в Париже. Он был столь же выдающимся физиком, как и астрономом, создал волновую теорию света и выяснил, что у Сатурна есть кольцо. Его книга о маятниковых часах оказала влияние на Ньютона (см. Principia). Для периода до Ньютона и Лейбница наряду с “Арифметикой” Валлиса эта книга представляет анализ в его наиболее развитой форме. Письма и книги Валлиса и Гюйгенса изобилуют новыми открытиями: спрямлениями кривых, квадратурами, построением обверток. Гюйгенс исследовал трактрису, логарифмическую кривую, цепную линию и установил, что циклоида — таутохронная кривая. Несмотря на это обилие результатов, многие из которых были получены уже после того, как Лейбниц опубликовал свое исчисление, Гюйгенс целиком принадлежит к периоду предтеч.

Надо сказать еще, что Гюйгенс был одним из немногих среди больших математиков семнадцатого века, кто заботился о строгости: его методы всегда были вполне архимедовыми.

Работы математиков этого периода охватывали много областей, новых и старых. Они обогатили оригинальными результатами классические разделы, пролили новый свет на прежние области и создавали даже совершенно новые области математических исследований. Примером первого рода может служить то, как Ферма изучал Диофанта. Примером второго рода является новая интерпретация геометрии Дезарга. Вполне новым творением была математическая теория вероятностей.

Диофант стал доступным для читающих на латинском языке в 1621 г.). В своем экземпляре этого перевода Ферма сделал свои знаменитые заметки на полях (опубликованы сыном Ферма в 1670 г.). Среди них мы находим “великую” теорему Ферма о том, что уравнение х n + у n = z n невозможно при целых положительных значениях х, у, z, если п > 2,— в 1847 г. это привело Куммера к его теории идеальных чисел. Доказательства, пригодного для всех п, до сих пор нет, хотя теорема несомненно верна для большого числа значений n2.

Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта “Разделить квадратное число на два других квадратных числа” следующие слова: “Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его”. Если Ферма имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия напряженных исследований такое доказательство не удалось получить. Надежнее допустить, что даже великий Ферма иногда ошибался.

В другой заметке на полях Ферма утверждает, что простое число Вида 4n +1 может быть одним и только одним образом представлено как сумма двух квадратов. Эту теорему позже доказал Эйлер. Еще одна “теорема Ферма”, которая утверждает, что a p - 1 - 1 делится на р, когда р – простое число и а не делится на р.

Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей. Постепенное формирование интерес к задачам, связанным с вероятностями, происходило прежде всего под влиянием развития страхового дела, но те частные вопросы, которые побудили больших математиков поразмыслить над этим предметом, были поставлены в связи с играми в кости и в карты.

Вопросы, связанные с вычислением вероятности результата при различных играх, не раз ставились в средневековой литературе за столетия до того, как Мере обратился к Паскалю, и решались иной раз верно, иной раз неверно. В частности, среди ближайших предшественников Паскаля и Ферма — Тарталья и Галилей. Но решение таких вопросов могло стать поводом для создания особой теории, затем целой математической дисциплины только под влиянием серьезных запросов практики

Блез Паскаль был сыном Этьена Паскаля, корреспондента Мерсенна; кривая “улитка Паскаля” названа в честь Этьена. Блез быстро развивался под присмотром своего отца, и уже в шестнадцатилетнем возрасте он открыл “теорему Паскаля” о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Эта теорема была опубликована в 1641 г. на одном листе бумаги и повлияла на Дезарга. Через несколько лет Паскаль изобрел счетную машину. Когда ему было двадцать пять лет, он решил поселиться как янсенист в монастыре Пор-Рояль и вести жизнь аскета, но продолжал при этом уделять время науке и литературе. Его трактат об “арифметическом треугольнике”, образованном биномиальными коэффициентами и имеющем применение в теории вероятностей, появился посмертно в 1664 г. Мы уже упоминали о его работах по интегрированию и о его идеях относительно бесконечного и бесконечно малого, которые оказали влияние на Лейбница. Паскаль первый придал удовлетворительную форму принципу полной индукции

Жерар Дезарг был архитектором в Лионе. Он автор книги о перспективе (1636 г.). Его брошюра с любопытным названием “Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью”, 1639 г.) содержит некоторые из основных понятий синтетической геометрии такие, как точки на бесконечности, инволюции, полярные соотношения,— все это на курьезном ботаническом языке. Свою “теорему Дезарга” о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 г. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии.

Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Виллиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665— 1666 гг.), Лейбниц в 1673—1676 гг., но Лейбниц первый выступил с этим в печати (Лейбниц в 1684—1686 гг., Ньютон в 1704—1736 г. г. (посмертно)). Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона.

Исаак Ньютон был сыном землевладельца в Линкольншире. Он учился в Кембридже, возможно, что у Исаака Барроу, который в 1669 г. передал ему свою профессорскую кафедру (примечательное явление в академической жизни), так как Барроу открыто признал превосходство Ньютона. Ньютон оставался в Кембридже до 1696 г., когда он занял пост инспектора, а позже начальника монетного двора. Его исключительный авторитет в первую очередь основан на его “Математических принципах натуральной философии” (Philisophiae naturalis principia mathematica, 1687 г.), огромном томе, содержащем аксиоматическое построение механики и закон тяготения — закон, управляющий падением яблока на землю и движением Луны вокруг Земли. Ньютон строго математически вывел эмпирически установленные законы Кеплера движения планет из закона тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния и дал динамическое объяснение приливов и многих явлений при движении небесных тел. Он решил задачу двух тел для сфер и заложил основы теории движения Луны. Решив задачу о притяжении сфер, он тем самым заложил основы и теории потенциала. Его аксиоматическая трактовка требовала абсолютности пространства и абсолютности времени.

Открытие Ньютоном флюксий стоит в тесной связи с его изучением бесконечных рядов по “Арифметике” Валлиса. При этом Ньютон обобщил биномиальную теорему на случаи дробных и отрицательных показателей и таким образом открыл биномиальный ряд.

Ньютон писал также о конических сечениях и о плоских кривых третьего порядка. В “Перечислении линий третьего порядка” (Enumeratio linearum tertii ordinis, 1704 г.) он дал классификацию плоских кривых третьей степени на 72 вида, исходя из своей теоремы о том, что каждую кубическую кривую можно получить из “расходящейся параболы” y2 = ax3 + bx2 + cx + d при центральном проектировании одной плоскости на другую. Это было первым важным новым результатом, полученным путем применения алгебры к геометрии, так как все предыдущие работы были просто переводом Аполлония на алгебраический язык Ньютону принадлежит также метод получения приближенных значений корней численных уравнении, который он разъяснил на примере уравнения x3 - 2 x - 5 = 0, получив х » 2,09455147.

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге, а большую часть жизни провел при ганноверском дворе, на службе у герцогов, один из которых стал английским королем под именем Георга I.

Кроме философии, он занимался историей, теологией, лингвистикой, биологией, геологией, математикой, дипломатией и “искусством изобретения”. Одним из первых после Паскаля он изобрел счетную машину, пришел к идее парового двигателя, интересовался китайской философией и старался содействовать объединению Германии. Основной движущей пружиной его жизни были поиски всеобщего метода для овладения наукой, создания изобретений и понимания сущности единства вселенной. “Общая наука” (Scientia universalis), которую он пытался построить, имела много аспектов, и некоторые из них привели Лейбница к математическим открытиям. Его поиски “всеобщей характеристики” привели его к занятиям перестановками, сочетаниями и к символической логике; поиски “всеобщего языка”, в котором все ошибки могли выявлялись бы как ошибки вычислений, привели его не только к символической логике, но и к многим новшествам в математических обозначениях. Лейбниц — один из самых плодовитых изобретателей математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и содержания. На этом философском фоне можно понять, как он изобрел анализ: это было результатом его поисков “универсального языка”, в частности языка, выражающего изменение и движение.

Лейбниц нашел свое новое исчисление между 1673 и 1676 гг. под личным влиянием Гюйгенса и в ходе изучения Декарта и Паскаля. Его подстегивало то, что он знал, что Ньютон обладал подобным методом.

Впервые анализ в форме Лейбница был изложен им в печати в 1684 г. в шестистраничной статье в Acta Eruditorum, математическом журнале, который был основан при его содействии в 1682 г.

Характерно название этой статьи: “Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого”. Изложение было трудным и неясным, но статья содержала наши символы dx, dy и правила дифференцирования, включая d (uv) = udv + vdu и дифференцирование дроби, а также условие dy = 0 для экстремальных значений и d 2y = 0 для точек перегиба. За этой статьей последовала в 1686 г. другая статья с правилами интегрального исчисления в с символом т (она была написана в форме рецензии).
Это было бы очень хорошо,прямо таки в точку, но к сожалению это очень заезж..... очень часто используются, буквально каждый второй доклад такой :(
Так выбири из каждого по чуть-чуть и составь свой, индивидуальный.
знаю,знаю,что нельзя...но прямо хочется послать аффтара на гугл..
Да нет,просто доклады про историю открытия математики,разных разделов, великих математиков как то мне кажутся " использованными"
Вот тут тебе сразу несколько этапов. все по полкам. Ты главное осиль.




МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МИФОЛОГИЯ И ПАНГЕОМЕТРИЗМ


“Открылось мне: в законах точных числ, В бунтующей, мыслительной стихии -

Не я, не я - благие иерархии

Высокий свой запечатлели смысл.

Звезда... Она - в непеременном блеске...

Но бегает летучий луч звезды

Алмазами по зеркалу воды

И блещущие чертит арабески”.

А.Белый. Дух (1914).


Как справедливо отметил еще О.Шпенглер [37], не существует универсального стиля математического мышления (универсальной математики), поскольку не существует универсальной общечеловеческой культуры. В разные эпохи и у разных народов математика отличалась настолько сильно, что перед нами, в некотором смысле, различные культурные феномены (например, математика античная и математика нововременная). Другой важный тезис Шпенглера состоит в том, что существует теснейшая взаимосвязь между разнообразными сторонами жизни данного культурного организма: античная математика глубочайшим образом связана с античными мифологией, религией, искусством, архитектурой, организацией общественной жизни и т.д., а нововременная математика - с соответствующими сторонами нововременной культуры. Эти два шпенглеровских тезиса являются основополагающими для всякой социокультурной философии математики.

Желая проследить далее процесс дифференциации стилей, и приглядываясь к математике определенного культурного организма, мы увидим более мелкие разделения. Например, в случае современной европейской культуры стало уже общепринятым противопоставлять математику “работающих математиков” (working mathematicians) и математику математических логиков и специалистов по основаниям. Другой пример: А.Н.Кричевец предлагает различать в рамках современной культуры, по крайней мере, три математики - математику профессиональных математиков, математику инженеров, и математику физиков [14, с.387-388]. Можно, очевидно, произвести и другие разделения современной математики. Для дальнейшего нам будет удобно несколько развить различение А.Н.Кричевца: мы можем разделять математику через преимущественное тяготение к определенной смежной области культуры: так у нас будут появляться не только математика физиков или инженеров, но и математика философов, математика художников, математика поэтов и т.д. Особое положение при таком делении займет математика профессиональных математиков. Она не взаимодействует напрямую с другими областями культуры: такое взаимодействие всегда опосредовано одной из “математик”, перечисленных нами выше.

Преимущественная связь с той или иной областью культуры, равно как и установка, состоящая в избегании такой связи, накладывает определенный отпечаток на стиль математического мышления, характерный для данной “математики”. Можно даже смотреть на подобное деление математики как на различение стилей мышления par excellence.

Очевидно, дифференциацию стилей математического мышления можно продолжать и далее, пока не дойдем до уникального стиля данного математика или даже данного математического текста. Однако уже произведенного выше различения будет вполне достаточно для наших целей.

Пока что мы проводили разделительные линии. Мы отделяли математику разных культур и эпох, мы разделяли математику и в рамках единой эпохи и единой культуры, в зависимости от основной области приложений. Теперь необходимо сказать, что, конечно же, в культурном организме математика физиков не обособлена от математики профессиональных математиков или от математики средней школы, а сложным образом взаимодействует с ними. Да и между культурами нет все-таки непроницаемых перегородок: так античная математика и математика нововременная, несмотря на все свои отличия, связаны все же цепью “социальных эстафет” (М.А.Розов). Именно наличие этой, хотя порой весьма хрупкой связи и позволяет нам все ж таки надеяться на возможность понимания, равно как и на оправданность разговора о едином феномене математики (хотя более адекватным здесь было бы сравнение не с единой жизнью, а с цепью перевоплощений, связанной единством кармы).

Итак, хотя универсальной математики не существует, это не означает бессмысленности разговора о математике вообще. (Ниже мы будем говорить не только об определенном стиле математического мышления, но и о понимании математики вообще, этим стилем провоцируемом). Достаточно удобным для разъяснения того, что мы хотим сказать, оказывается противопоставление понятия-емкости и понятия-типа, производимое Р.Арнхеймом [2, с.34-39]. “Понятие-емкость - это сумма свойств, по которым можно узнать данный вид сущности. Тип - это структурная основа такого вида сущности” [2, с.35]. Мы не будем пытаться в дальнейшем привести необходимый и (в совокупности) достаточный перечень черт, определяющих математическое мышление. Да такой перечень и невозможно составить (здесь уместно вспомнить знаменитые рассуждения Витгенштейна о понятии “игра”). Однако это не делает менее интересной попытку угадать некий образ, некую структуру-гештальт, которая давала бы нам ощущение прозрения в тайну математического.

При этом достаточно понятно, что характер подобного “прозрения” будет зависеть от избранного угла зрения на математику (в нашем случае, взглядом на нее с точки зрения ее связи преимущественно с такими областями культуры как религия, философия, искусство, т.е. взглядом sub specie artis). Выбор иного угла зрения привел бы к иной картине, но избрание одного угла зрения и не предполагает отрицания правомерности других, а значит, мы и не имеем в указании на наличие других возможных подходов решающего аргумента против права создаваемой в данной работе картины на существование. Более того: мы не просто избираем здесь определенный ракурс, но стремимся сохранять его, пока остается возможность развивать мысль в избранном направлении. Это сознательный метод данной работы.

Начать естественно с выражения “математическая мифология”. Для разъяснения того, что имеется в виду, нам придется обратиться к Платону.

1. Что такое математическая мифология?

Платоновский Тимей говорит: “... не удивляйся, Сократ, что мы, рассматривая во многих отношениях много вещей, таких, как боги и рождение Вселенной, не достигнем в наших рассуждениях полной точности и непротиворечивости. Напротив, мы должны радоваться, если наше рассуждение окажется не менее правдоподобным, чем любое другое, и притом помнить, что и я, рассуждающий, и вы, мои судьи, всего лишь люди, а потому нам приходиться довольствоваться в таких вопросах правдоподобным мифом, не требуя большего” [21, с.433; курсив мой].

Мифология “Тимея” насыщена математическими элементами. Это не просто миф, но миф математический. Здесь и рассуждение о шарообразности космоса, и разделение мировой души в соответствии с определенными арифметическими закономерностями, и все учение о четырех стихиях, включающее знаменитые рассуждения о правильных многогранниках. Согласно Проклу, “Платон многие удивительные учения о богах излагает нам посредством математических форм”, и таков же “весь способ Пифагора учить о богах” [24, с.81].

В чем же смысл математического мифа? В чем притягательность именно математической мифологии для античного мыслителя? Ответ на эти вопросы мы находим у того же Платона, и в первую очередь в диалоге “Государство”.

Во-первых, здесь мы весьма отчетливо видим, каким образом миф работает в динамике платоновской мысли. В конце VI книги строятся взаимосвязанные иерархии бытия и познавательных способностей, а параллельно им развивается соответствующая мифологическая конструкция, которая находит окончательное завершение уже в VII книге в знаменитом мифе о пещере. По существу Платон параллельно возводит две тесно связанные между собою конструкции - метафизическую и мифологическую. Их взаимосвязь организуется посредством широко применяемого Платоном принципа пропорции или аналогии (см. подробнее у А.Ф.Лосева [16, с.250-275]).

Приведем в качестве примера лишь малый фрагмент этого построения [21, с.253-319]. Содержащееся в VI книге учение о Благе может быть представлено следующей пропорцией:

Числители выписанных дробей относятся к области подлинного бытия, а знаменатели - к области чувственно воспринимаемого (зримого). Метафизическую связь между мышлением, идеями и Благом, предлагается понимать по аналогии с тем, как связаны между собой зрение, видимые с его помощью вещи и, только и делающие возможным существование зрения и видимого мира, Солнце и его свет. Наша душа, погрязшая в чувственном мире, и наш язык, приспособленный преимущественно к выражению предметов и отношений этого мира, позволяет нам с помощью такой пропорции представить, до некоторой степени, и сверхчувственное отношение сверхчувственных предметов. В этом и состоит, по всей видимости, главный смысл, как приведенного построения, так и всего мифа о пещере, в который это построение разрастается в VII книге.

Во-вторых, в тех же книгах “Государства” мы находим ответ не только на вопрос о функции платоновского мифа вообще, но и о специфической притягательности именно математического мифа. Имеется в виду знаменитое учение о срединном положении математики, и вытекающей отсюда исключительной роли последней в процессе восхождения души от мира чувственного к миру подлинному. Как разъясняют нам Платон и Прокл, математические конструкции ближе к миру подлинному, более совершенны и более устойчивы, чем текучие образы чувственного мира, однако не полностью свободны от материальности (hyle phantaston), что и позволяет строить на их основе миф, но миф более правдоподобный, более адекватный реалиям подлинного мира.

Ступень математическая - промежуточная ступень лестницы, за которой следует диалектика. Однако (чего часто не замечают!), переход на ступень диалектики вовсе не означает у Платона отказ от всего того, что имелось на ступени математики. При этом переходе необходимо должно происходить осознание и осмысление тех предпосылок, которые оставались неосознанными и неосмысленными на предыдущей ступени, но математические дисциплины признаются “помощниками и попутчиками” (Платон) диалектического метода, его “подспорьем и азбукой” (Алкиной).

В качестве весьма выразительного примера можно указать на последний трактат “Эннеад” Плотина. Трактат “О благе или едином”, по самой своей тематике, особенно ярко обнаруживает двойственное отношение к математике (обусловленное промежуточностью ее статуса) характерное для платоников.

С одной стороны, наставляя тех, кто желает философствовать о едином, Плотин требует “созерцать единое, не присоединив ни одного чувствования и ничего от оного не принимая в него-то, но созерцать чистейшее чистым умом и тем, что в уме первое”. “Стало быть, - продолжает Плотин, - когда приступивший к созерцанию вот такого воображает у этой природы или величину, или фигуру, или массу, не ум становится проводником ему в созерцании, потому что не уму прирождено видеть таковые, а это - деятельность чувствования и мнения, следующего за чувствованием” [22, с.219; курсив мой]. Итак, приступая к рассмотрению единого, следует отринуть всякие образы (как собственно чувственные, так и математические), ведь единое безвидно, чуждо всякого образа (aneideos).

С другой стороны, читая трактат далее, мы обнаруживаем, что Плотин активно привлекает различные образы, в особенности математические, и именно чтобы говорить (= мыслить) о едином. Здесь возникают образы геометрической точки и арифметической единицы. Предмет рассмотрения трактата, говорит Плотин, мы называем “единым и нераздельным не так, как мы называем точку или единицу; ибо те, что суть единое таким образом, - начала количества, которое бы не существовало, не будь прежде него сущности и того, что прежде сущности (итак, не нужно вперять сюда мысль); однако первые всегда подобны последним в соответствиях (аналогичны - В.Ш.) по простоте и избеганию множества и деления” [22, с.221; курсив мой].

Далее эта мысль развивается. Развитием (эманацией) образа точки оказывается образ круга, а затем и сферы (сама же точка выступает теперь как центр). Душа, пишет Плотин, “знает, что ее движение не прямолинейное, ну разве лишь тогда, когда бы оно претерпело отклонение, свойственное же ей по природе движение такое, как движение по кругу (1) не вокруг чего-то вовне, а вокруг центра, центр же - то, от чего происходит круг, то она будет двигаться вокруг этого, от коего происходит, и будет зависеть от этого, привлекая себя к тому самому, к коему пристало влечься всем душам . Ну а этот как бы центр души есть ли искомое? Или следует признать нечто другое, в чем все как бы центры совпадают? И признать, что это - “центр” по аналогии со здешним кругом? И не оттого, что душа - круг так, как фигура, но потому, что в ней и вокруг нее древняя природа, и потому, что она происходит от “такового”, а еще более и потому, что души отделены целиком. Ныне же, когда часть нас удерживается телом, как если бы кто-то держал ноги в воде, остальным же телом вздымался, мы поднявшись кверху тем-то, что не притоплено телом, этим-то соприкасаемся в центре самих себя с как бы центром всего так же, как центры наибольших кругов соприкасаются с центром объемлющей сферы, и отдыхаем. Ну а если бы круги были телесными, а не душевными, то они пространственно соприкасались бы с центром и, раз центр расположен где-то, были бы вокруг него; но коль скоро и сами души умопостигаемы, и “то” превыше ума, должно полагать, что соприкосновение происходит благодаря другим силам” [22, с.223; курсив мой].

Те же геометрические образы Плотин использует и далее: “Так вот, тогда видящий и не видит, и не различает, и не представляет себе двух, а, словно став другим, он, и не сам, и не свой, относится туда, и, став “того”, он есть единое, как бы совместив центр с центром. И ведь здесь центры суть единое, совпав, и - двоица, когда они порознь. Так и мы ныне называем “то” иным. Потому-то и трудновыразимо зрелище. Ведь как кто-либо смог бы поведать о “том” как ином, узрев там, когда он созерцал, не иное, а единое с собой самим?” [22, с.225; курсив мой].

Что же получается? Плотин забыл о собственных увещаниях? - Нет. Более того, он неоднократно повторяет их вперемешку с приведенными выше рассуждениями, использующими образы единицы, точки, круга, сферы (и ее больших кругов). Кроме того, и в самих этих рассуждениях он постоянно делает оговорки: “не нужно вперять сюда мысль”, “как бы центр”, “”центр” по аналогии”, “не оттого, что душа - круг, как фигура” и многие другие. Всю же ситуацию он в конце трактата разъясняет следующим сравнением: стремящийся к постижению единого “совсем как некто, вошедший вовнутрь святилища и оставивший позади изваяния в храме, которые вышедшему из святилища опять предстают первыми после зрелища внутри и общения там не с изваянием и не с образом, а с “самим”, и которые, стало быть, оказываются последующими зрелищами. Ну а эти зрелища - подобия; и потому мудрым из прорицателей они намекают, как тот бог зрится; мудрый же жрец, уразумевший намек, мог бы, оказавшись там в святилище, сделать созерцание истинным” [22, с.225].

Все становится на свои места, когда мы начинаем понимать, что для Плотина есть две математики (равно как и два отношения к чувственно воспринимаемому). Одну из них он отвергает, тогда, как другую приемлет. Это те самые две математики, которые столь настоятельно противопоставляет Платон в “Государстве” [21, с.304-315] - “торгашеская” математика и математика философская, математика сама по себе (или даже ориентированная на технические приложения и получение мирской выгоды) и математика как “подспорье и азбука” диалектики (как математическая диалектика или диалектическая математика). Другими словами, как Платон, так и Плотин отвергают математические образы как таковые и приветствуют их в качестве элемента мифа. Подлинная математика для них - это математический миф, это те изваяния в храме, которые окружают святилище (2) .

Еще более отчетливое выражение этих же мыслей находим у Николая Кузанского, полагавшего, что именно математика “лучше всего помогает нам в понимании разнообразных Божественных истин”. Рассуждает он следующим образом: “Видимое поистине есть образ невидимого”, и Творца “можно увидеть по творению как бы в зеркале и подобии”. Если же “разыскание ведется все-таки исходя из подобий, нужно, чтобы в том образе, отталкиваясь от которого мы переносимся к неизвестному, не было по крайней мере ничего двусмысленного; ведь путь к неизвестному может идти только через заранее и несомненно известное. Но все чувственное пребывает в какой-то постоянной шаткости ввиду изобилия в нем материальной возможности. Самыми надежными и самыми для нас несомненными оказываются поэтому сущности более абстрактные, в которых мы отвлекаемся от чувственных вещей, - сущности, которые и не совсем лишены материальных опор, без чего их было бы нельзя вообразить, и не совсем подвержены текучей возможности. Таковы математические предметы”. Поэтому, “если приступить к Божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими знаками из-за их непреходящей достоверности” [18, с.64-66].

К математической мифологии могут быть отнесены знаменитые рассуждения Николая Кузанского в “De docta ignorantia”, использующие динамические возможности геометрических фигур: шар бесконечного радиуса, центр которого везде, а периферия - нигде; многоугольник, вписанный в круг, число углов которого неограниченно увеличивается; совпадение бесконечной прямой и окружности бесконечного радиуса и т.п.

Обратим внимание, что математические конструкции, став частью мифа, начинают жить особой жизнью. Здесь могут возникать, да и в действительности возникают, рассуждения, выглядящие совершенно чудовищно для человека непривычного к подобному стилю мышления. Достаточно вспомнить уже упомянутые рассуждения Платона о правильных многогранниках, или многочисленные аргументы в пользу совершенства декады в “Теологуменах арифметики”, восходящие к Спевсиппу, а возможно и к Филолаю или даже ранним пифагорейцам [38, с.417-418].

Об особенностях соответствующего взгляда на математику мы поговорим чуть ниже, а сейчас посмотрим на некоторые более близкие и привычные для нас способы обращения с математическими конструкциями, находящиеся, тем не менее, в самом тесном родстве с математической мифологией.

2. Вырождение математической мифологии: математические

конструкции как парадигмальные схемы.

Начнем с нескольких примеров, заимствованных у Лейбница.

“Простота субстанции не препятствует множественности модификаций, которые должны совместно существовать в той же самой простой субстанции и состоять в разнообразии отношений к внешним вещам. Точно так же в центре, или точке, как она ни проста, находится бесконечное множество углов, образованных линиями, в ней встречающимися” [15, с.404; курсив мой] (3) .

“... случай совершенного равновесия химеричен: он никогда не встречается, так как универсум нельзя разрезать или разделить на две совершенно равные и схожие части. Универсум, как эллипс или другой подобный овал (имеется в виду: в отличие от эллипса или другого подобного овала - В.Ш.), нельзя разложить посредством проведенной через центр прямой линии на две совпадающие части. Универсум не имеет центра, и его части бесконечно разнообразны; следовательно, никогда не будет случая, когда все на обеих сторонах станет одинаковым и будет производить на нас равное влияние ...” [15, с.381; курсив мой].

“Но когда я все более сосредотачивал мысль, не давая ей блуждать в тумане трудностей, мне пришла в голову своеобразная аналогия между истинами и пропорциями, которая, осветив ярким светом, все удивительным образом разъяснила. Подобно тому как во всякой пропорции меньшее число включается в большее либо равное в равное, так и во всякой истине предикат присутствует в субъекте; как во всякой пропорции, которая существует между однородными (подобными) количествами (числами), может быть проведен некий анализ равных или совпадающих и меньшее может быть отнято от большего вычитанием из большего части, равной меньшему, и подобным же образом от вычтенного может быть отнят остаток и так далее, беспрерывно вплоть до бесконечности; точно так и в анализе истин на место одного термина всегда подставляется равнозначный ему, так что предикат разлагается на те части, которые содержатся в субъекте. Но точно так же, как в пропорциях анализ когда-то все же исчерпывается и приходит к общей мере, которая своим повторением полностью определяет оба термина пропорции, а анализ иногда может быть продолжен в бесконечность, как бывает при сопоставлении рационального и мнимого числа или стороны и диагонали квадрата, аналогично этому истины иногда бывают доказуемыми, т.е. необходимыми, а иногда - произвольными либо случайными, которые никаким анализом не могут быть приведены к тождеству, т.е. как бы к общей мере. А это и является основным различием, существующим как для пропорций, так и для истин” [15, с.316; курсив мой] (4) .

Эти три фрагмента, взятые из различных работ Лейбница, объединяет следующее: в контекст метафизического рассуждения вводятся математические фрагменты (мы выделяли их курсивом). При этом сам автор воспринимает их как “своеобразные аналогии” достаточно случайно связавшиеся в его мысли с метафизическим рассуждением. Например, еще в одном месте, Лейбниц пишет, что он мучительно размышлял “над тем, как можно совместить свободу и случайность с цепью причинной зависимости и провидением”. “Но тут вдруг - говорит он - блеснул мне некий невиданный и неожиданный свет, явившийся оттуда, откуда я менее всего ожидал его, - из математических наблюдений над природой бесконечного. Ведь для человеческого ума существует два наиболее запутанных вопроса (“два лабиринта”). Первый из них касается структуры непрерывного, или континуума, а второй - природы свободы, и возникают они из одного и того же бесконечного источника” [15, с.312-313; курсив мой].

Нетрудно увидеть связь между приведенными рассуждениями Лейбница и математическими мифами Платона и Николая Кузанского. Однако нетрудно заметить также и существенные отличия: во-первых, привлечение математики не является теперь осознанным, оправданным и систематически проводимым познавательным приемом; во-вторых, математические конструкции не обретают в этих рассуждениях особой жизни, они в готовом виде заимствуются из развитых независимо математических теорий. Здесь наблюдается как бы вырождение математического мифа, забвение им собственных корней. Внешне все как в математическом мифе, но исчезло измерение глубины, осталась лишь поверхность, утратившая свой смысл и неспособная к самостоятельной жизни и развитию.

Теперь перед нами лишь аналогия или модель, единственный смысл которой - дать наглядное представление самим по себе мало наглядным метафизическим рассуждениям. Вплетенная в метафизический контекст математическая конструкция служит здесь образцом (парадигмой) для наглядного представления метафизических отношений, предлагает для них отчетливый образ. Желая отличить подобное приложение математики от математического мифа, мы будем называть соответствующие математические конструкции - парадигмальными схемами [33, с.67; 35, с.370].

Легко заметить, что между математическим мифом и использованием математических конструкций в роли парадигмальных схем невозможно провести отчетливой демаркационной линии. В каждом конкретном случае может возникать сомнение - что перед нами? Если правильные многогранники в “Тимее” Платона - скорее математический миф, чем парадигмальная схема, а геометрические и арифметические конструкции в текстах Лейбница - vice versa, то чем является “совершенно-круглый шар” в поэме Парменида [33, с.57-59] сказать уже затруднительно. При этом у одного и того же автора наряду с полноценными математическими мифами могут встречаться и вырожденные варианты - например, уже упомянутое выше пристрастие Платона к использованию конструкций геометрической пропорции и геометрического подобия, в качестве способов организации иерархии.

Ситуация еще более осложняется тем, что недостаточная осознанность и продуманность связи между ходом метафизического рассуждения и привлекаемыми для его иллюстрации математическими аналогиями (как в случае Лейбница, лишь смутно догадывающегося о неслучайности являющихся его мысли метафизико-математических параллелей как следствии единства их “бесконечного источника”), часто приводит к тем большей неосознаваемой зависимости хода метафизического рассуждения от предстоящих мысли математических схем (как и получилось у Лейбница), иногда вплоть до подлинной математической экспансии [33, с.63-64]. Дело в том, что соответствующие математические конструкции вряд ли привносятся в метафизические рассуждения лишь post hoc, когда основной рисунок рассуждения уже сложился. Являясь на ранних стадиях формирования мысли, соответствующие математические конструкции не остаются пассивными. Наглядность этих конструкций, отчетливость математических образов, делает их, можно сказать, “навязчивыми”, определяя их активное влияние на те пути, которые избирает находящаяся в стадии становления метафизическая мысль.

Тексты Лейбница были выбраны нами в качестве примера, конечно же, не случайно. Однако, не следует думать, что они единственны в своем роде, т.е. в том как используется в них математика. Использование математических конструкций в роли парадигмальных схем - широко распространенное явление, причем не только среди философствующих математиков, таких как Лейбниц и Г.Вейль [33, с.63-64], или мыслителей, получивших хорошее математическое образование, таких как П.Флоренский [33; 35] (5) , но и у весьма далеких от математики мыслителей - например, у Вл.Соловьева [28, с.3, 20], - хотя в последнем случае набор применяемых математических конструкций по понятным причинам значительно беднее.

Еще более распространено применение разнообразных схем и диаграмм - диаграммы Эйлера-Венна, появившиеся в логике задолго до построений, связавших математическую логику и топологию; диаграммы, применяемые школой Г.П.Щедровицко- го, и язык картинок, развиваемый А.Г.Барабашевым [4]; диаграммы А.Белого [5] и т.п. Мы указали наиболее яркие примеры. Однако, всякое иллюстрирование рассуждения посредством наглядной схемы, составленной из “кружочков”, “прямоугольничков”, “стрелочек” и т.п. (см., например, рис.1 и 2 в настоящем тексте), стоит в легко заметном родстве с математическими конструкциями в роли парадигмальных схем, являясь еще более вырожденной версией математической мифологии [33, с.67-68]. Интересно, что и эти диаграммы и схемы обладают “навязчивостью” математических образов и способны вести за собой мысль (на что особо обращает внимание А.Г.Барабашев).

3. Математика как эстетический феномен и пангеометризм как

способ понимания природы математики.

В предыдущих пунктах был продемонстрирован определенный контекст, в котором могут существовать, и существуют математические конструкции. Попробуем отдать себе отчет в некоторых определяющих особенностях такого их существования.

Во-первых, обратим внимание на чисто качественный, квалитативный, подход к математическим конструкциям. Эта особенность достаточно ярко прослеживается в приведенных выше примерах.

Во-вторых, - на отсутствие необходимой связи между нематематическим предметом рассмотрения и математической конструкцией [33, с.66; 35, с.369]. Приведем соответствующий пример.

Существует целая традиция использования геометрического образа круга (окружности) для прояснения соотношения Божественных ипостасей (hypostasis), которых три при единстве сущности (oysia). Однако делаться это может несколько по-разному.

Так Николай Кузанский сравнивает Бога с максимальным кругом, у которого, в силу единственности максимума, центр, диаметр и окружность тождественны. “Ты видишь, - пишет он, - что простой и неделимый максимум целиком залегает внутри всего как бесконечный центр, что он извне всего охватывает все как бесконечная окружность и что он все пронизывает как бесконечный диаметр. Он начало всего как центр, конец всего как окружность, середина всего как диаметр. Он действующая причина как центр, формальная причина как диаметр, целевая причина как окружность. Он дарует бытие как центр, правит как диаметр, хранит как окружность, - и многое в том же роде” [18, с.83]. По-видимому, центр, дающий единство кругу, символизирует здесь Отца как единство, диаметр, как характеризующий равенство круга по всем направлениям, - Сына, как равенство единства, окружность, замыкающая и связующая круг, - Духа, как связь Отца и Сына.

Несколько по-другому у Кеплера: “Образ Триединого Бога - это сферическая поверхность; другими словами, Бог-Отец находится в центре, Бог-Сын - на наружной поверхности, а Бог-Дух Святой - в равенстве отношений между точкой и поверхностью” [2, с.62]. Вместо круга мы имеем здесь дело с шаром, а элементы, с которыми связывались Сын и Дух, поменялись местами.

Поясняя почему Бог троичен, а не четверичен, пятеричен и т.д., Николай Кузанский использует образ треугольника как простейшего из многоугольников: “четырехугольная фигура не минимальна, что очевидно, поскольку треугольник меньше ее; значит простейшему максимуму, который может совпасть только с минимумом, четырехугольник, всегда составный и потому больший минимума, подходить никак не может” [18, с.81].

Рассматривая тот же вопрос, П.А.Флоренский привлекает иной образ: он предпочитает представлять себе взаимное расположение точек на окружности. “В трех ипостасях, - пишет он, - каждая - непосредственно рядом с каждой, и отношение двух только может быть опосредствовано третьей. Среди них абсолютно немыслимо первенство. Но всякая четвертая ипостась вносит в отношение к себе первых трех тот или иной порядок и, значит, собою ставит ипостаси в неодинаковую деятельность в отношении к себе, как ипостаси четвертой” [30, с.50]. (Подробнее см. в [31, с.149-150]).

Обсуждаемое отсутствие необходимой связи интересно выразилось уже в “Тимее”. Желая конструировать правильные многогранники из прямоугольных треугольников, Платон избирает два наиболее “прекрасных” из них - равнобедренный и “тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник - равносторонний” (т.н. гемитригон). Первый из избраных треугольников “хорош” по понятной причине - у него равные катеты. Но почему из всех неравнобедренных прямоугольных треугольников выбран именно гемитригон? Этого Платон не объясняет: “обосновывать это было бы слишком долго (впрочем, если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем)” [21, с.457; курсив мой]. Обратим внимание на выделенные курсивом слова. Что это значит? На наш взгляд, Платон подчеркивает, что для него важен эффект, производимый его рассуждением в целом и основные принципы его разворачивания (в данном случае: эстетическое совершенство), а не отдельные его детали, которые могут и не определяться темой диалога однозначным образом, а значит, и могут быть заменены другими, коль скоро такие будут представлены.

Обе названные особенности существования математических конструкций в интересующем нас культурном контексте являются частными проявлениями более общей тенденции - тяготения к восприятию математики как эстетического феномена. Эстетического - в широком, первоначальном смысле этого слова - от aisthesis - чувственное восприятие (в первую очередь зрение). Греческая математика преимущественно геометрична, а в платонической традиции именно геометрия оказывалась самой “математической” из всех математических дисциплин, дисциплиной, наиболее полно воплощающей срединное положение математики между чувственным и эйдетическим [27]. Именно эстетическая сторона математики выявляет себя наиболее полно в математической мифологии.

Как мы уже отмечали, всякая специфическая область приложения математики позволяет по-новому взглянуть на математику вообще. Какую же перспективу в понимании математики открывает нам математическая мифология и работа математических конструкций в роли парадигмальных схем?

В данном аспекте ключ к пониманию природы математики наиболее естественным представляется искать, конечно же, в наиболее наглядной, “зримой”, области математики - в геометрии.

Уже Прокл отчетливо зафиксировал главную особенность геометрической мысли: она способна дать развернутое знание о своих предметах лишь с помощью воображения (phantasia), отразив их в воображаемой материи (hyle phantaston) [24]. Предмет математики не умозрителен, но и не воспринимаем чувствами. Он удивительным образом причастен и тому и другому, что Аристотель зафиксировал в парадоксальных, совмещающих главные противоположности платонической онтологии терминах hyle noete (“мыслимая материя”) и noys pathetikos (“страдательный разум”) [27]. Геометрическое воображение Прокла оказывается одновременно совмещающим в себе казалось бы несовместимое - чистую активность (noys) и чистую пассивность (hyle). Чистая мысль (noys theoretikos), овеществляясь, обращается в геометрии в noys pathetikos, а материя чувственного восприятия (hyle aisthete), очищаясь, предстает как более “тонкая” геометрическая материя (hyle noete, hyle phantaston).

Следующий важный шаг в осмыслении природы геометрической мысли делает Кант. Прокловскому различению hyle aisthete и hyle phantaston у Канта соответствует противопоставление эмпирического и чистого созерцания (reine Anschauung). Причем Кант явно называет это чистое созерцание - “пространство + время”. Здесь “пространство и время” обозначают тот универсальный фундамент, который соответствующий мысленный эксперимент обнаруживает в основе всякого нашего представления. Геометрическое мышление есть пространственно-временное конструирование, а предмет геометрии - пространство и его отношения, временная динамика пространственных конструкций [11, т.3, с.67, 76-77, 528-529].

В самом деле, в эстетическом аспекте деятельность геометра предстает как организация и переорганизация пространственных элементов во времени, а цель - изучение существующих здесь возможностей. Решая задачу из элементарной геометрии, мы проводим прямые и окружности, фиксируем их пересечения как точки. Затем исследуем устройство получившейся конфигурации: насколько “жестко” заданные условия фиксируют соответствующую “конструкцию”, сколько различных конструкций может быть “собрано” из данных элементов и т.п. Особенно важно отметить, что соединение любых двух элементов в этой деятельности непосредственно дается нам в созерцании, мы непосредственно “видим” как они “стыкуются” между собой. Доказательства же и вычисления в эстетическом аспекте предстают как сравнение и сопоставление различных элементов исследуемой конструкции.

Нарисованная картина порождает, однако, ряд вопросов и требует комментария.

Во-первых, обратим внимание на то, как проявляется в нашем простейшем случае платоническая тема срединного положения геометрической деятельности между чистой активностью и чистой пассивностью. С одной стороны, налицо активное, конструктивное начало - мы можем порождать те или иные конфигурации по собственному желанию. С другой стороны, мы не можем, например, заставить две прямые “заключать пространство”, - та среда, в которой мы разворачиваем свою конструктивную активность, имеет свои закономерности, не позволяющие нашему конструированию быть совершенно произвольным, накладывая на него свои ограничения. Эта среда обладает “косностью”, она сопротивляется формующей руке творца, эта среда материальна - актуализировать в ней можно лишь то, что допускается ее собственными потенциями. Более того, деятельность геометра, судя по всему, как раз и направлена именно на выявление этих потенций, а не на наслаждение собственным произволом. Наряду с конструктивным началом в простейшей геометрической деятельности мы явственно ощущаем и присутствие начала рецептивного (7) .

Во-вторых, следует особо остановиться на кантовском различении чистого и эмпирического. Насколько математическая мысль действительно свободна от эмпирических образов? Рассуждая, геометр чертит палочкой на песке, мелом на доске или ручкой на бумаге. Те или иные эмпирические “подпорки” постоянно сопровождают геометрическую мысль. В каком смысле можно говорить, что она от них независима? Ведь хорошо известно, что уже в случае достаточно сложной задачи из элементарной геометрии практически невозможно обойтись без помощи эмпирического чертежа (8) .

Подобные недоумения были удачно разрешены еще Аристотелем. Да, геометр рассуждает, глядя на нарисованный им на доске треугольник. Можно даже сказать, что он рассуждает об этом самом нарисованном треугольнике, однако, не поскольку он нарисован мелом и на доске, т.е. не поскольку он есть некоторый объект эмпирического мира, а поскольку этот треугольник организован в нашем представлении по определенным закономерностям. Точнее: этот эмпирический чертеж позволяет геометру удерживать внимание на определенной пространственной конфигурации. При этом нам не столь уж важно способны мы представлять треугольник полностью свободным от эмпирических характеристик (напр., цвета) или нет. Нам вполне достаточно различать в самом эмпирическом предмете пространственно-временные характеристики ото всех остальных. Так разные (с эмпирической точки зрения) чертежи вполне могут представлять одну и ту же геометрическую конфигурацию (единый гештальт) (9) .

Однако мы можем задать теперь следующий вопрос: а в самом ли деле мы способны отличать пространственно-временные характеристики ото всех остальных? Кант убежден, что да. Но приводимый им в подтверждение этого и уже упомянутый выше мысленный эксперимент отнюдь не доказывает желаемого. Он вызывает в нашем воображении лишь некие смутные образы (из разновидности “образов абстрактного”, которые Р.Арнхейм уподобляет импрессионистской живописи). Интерсубъективность таких образов может вызвать серьезные сомнения. Значительно более надежно указывают на интересующий нас предмет сами слова “пространство” и “время”. Сам факт устойчивого существования их в языке предполагает наличие постоянной преемственности в контекстах их употребления, в достаточной степени обеспечивающей взаимопонимание (хотя и не гарантирующей абсолютной неизменности их смысла!). Во всяком случае, эти слова определяют свой предмет не хуже чем слово “математика” - свой (10) . Более конкретным разъяснением вкладываемого в них в настоящем выступлении смысла может служить лишь сам текст этого выступления. Но, что же все-таки способен прояснить для нас мысленный эксперимент Канта? Во всяком случае, достаточную фундаментальность ситуаций употребления слов, выражающих пространственно-временные характеристики.

В-третьих, определенного комментария требует и утверждение о данности геометрических фигур в созерцании. Еще Декартом был приведен знаменитый пример с тысячеугольником [9, с.58], который не может быть нами воображен. Хуже того: даже такие простейшие геометрические объекты как “точка” или “прямая” непредставимы наглядно в точном смысле слова, ведь простейший мысленный эксперимент убеждает нас в непредставимости ни слишком малого, ни слишком большого [25, с.208; 12, с.273-274; 26, с.63-65; 32, с.44-48, 101-111; 33, с.37-38]. Действительно, мы не можем представить точку, не имеющую размеров, не можем представить линию, не имеющую толщины, не можем сразу охватить взглядом бесконечную прямую. Однако это не мешает нам представлять прямые и точки все же достаточно отчетливо для того, чтобы отличать различные части геометрической конструкции друг от друга и непосредственно “видеть” их взаимное расположение. Прямую мы имеем возможность “видеть” достаточно тонкой для того, чтобы в процессе рассуждения не обращать внимания на ее толщину, а точку - достаточно малой для того, чтобы игнорировать ее размеры (11) . Действительно, мы не можем представить тысячеугольник настолько отчетливо, чтобы отличать его от многоугольника с несколько большим или несколько меньшим числом сторон. Однако мы можем достаточно отчетливо представить его сторону и соединение ее с соседними сторонами, а этого уже вполне достаточно для изучения математических свойств соответствующей конструкции (подробнее это будет разъяснено ниже).

В-четвертых, необходимо сказать несколько слов о времени в геометрии. Выражение “пространственно-временное конструирование” следует понимать как пространственную организацию и переорганизацию элементов во времени. Время входит в геометрические конструкции лишь как динамика их пространственных элементов. Время в геометрии всегда есть лишь движение пространственных элементов. Время как таковое не подлежит не только геометрическому, но и математическому изучению вообще, да и движение как таковое также. Лишь подменив время движением, а движение его пространственным следом (траекторией) мы можем сделать их предметом математического изучения. По существу мы будем изучать при этом не время и не движение, а особенности пространственной организации самой траектории. Даже изучая в элементарной геометрии, что может быть построено с помощью циркуля и линейки, а что - нет, мы также не делаем предметом нашего рассмотрения геометрическое становление как таковое, но скорее - раскрываемые им особенности организации пространства (12) .

Итак, мы сделали некоторые наблюдения над простейшими проявлениями геометрической мысли в эстетическом ее аспекте. Следующим шагом, естественно, должна стать попытка, распространить наши рассуждения и на другие области математики, проверить, не обнаружим ли мы и там то, что привлекло наше внимание в простейших геометрических примерах. Необходимо выяснить, в какой мере то, что было сказано нами о геометрии, можно повторить и о математике вообще; что можно повторить дословно, а что лишь mutatis mutandis.

Кант этот шаг делает: конструктивный характер математическое мышление сохраняет и за пределами геометрии, однако собственно геометрическое, или остенсивное, конструирование заменяется в арифметике и алгебре на символическое [11, т.3, с.530-531, 542].

Нечто принципиально новое, по сравнению с рассмотренным выше собственно геометрическим конструированием, мы обнаруживаем уже на примере позиционной записи натуральных чисел. Введя строго фиксированный конечный набор графических символов и определенные правила их комбинирования, мы получаем возможность, наглядно представлять достаточно большие натуральные числа и производимые над ними действия. В эстетическом аспекте вся арифметика натуральных чисел предстает как система организуемых на плоскости графических символов. Организация символов производится посредством нескольких типов манипулирования этими символами: расстановки и перестановки знаков, замены одних знаков другими. Вспомним хотя бы умножение “столбиком” или деление “уголком”. Указанные манипуляции могут быть охарактеризованы как квазигеометрические, поскольку, представляя из себя операции с графическими знаками как целостными образованиями, собственно геометрическими они не являются (геометрическая конфигурация самого знака здесь совершенно неважна, важно лишь удобство его с точки зрения простоты написания, перестановок и замен, а также достаточное отличие от других знаков в рамках той же системы [7, с.58, 61-62]).

Работа с более богатой и разнообразной алгебраической графикой также может быть охарактеризована как манипулирование графическими символами. Рассмотрим, в качестве примера, одну из простейших алгебраических конструкций - группу. Группа - это совокупность элементов (в качестве графических символов можно использовать буквы латинского алфавита), правила манипулирования с которыми, задаются следующими условиями, называемыми аксиомами группы: (G1) из двух элементов x и y можно составить новый графический символ x•y; (G2) графические символы (x•y)•z и x•(y•z) являются взаимозаменяемыми; (G3) среди элементов группы имеется элемент, называемый нейтральным, который обозначим e, такой, что содержащие его графические символы x•e, e•x и x являются взаимозаменяемыми; (G4) вместе с элементом x имеется элемент, называемый обратным для x, обозначим его x', такой, что символы x•x', x'•x и e являются взаимозаменяемыми. Во всех аксиомах x, y и z - произвольные элементы группы. Доказательства каких-либо утверждений относительно групп представляют собой разворачивание определенных квазигеометрических конструкций. Это демонстрация определенных особенностей манипуляции с графическими символами при соблюдении указанных правил. Рассмотрим, например, как производится доказательство того, что нейтральный элемент единственный. Демонстрируется, что любые два графических символа, изображающие нейтральный элемент, взаимозаменяемы. В самом деле, пусть это символы e и f. Тогда, согласно правилу (G3), f взаимозаменяем с e•f, а этот последний символ - с e, следовательно, e и f взаимозаменяемы. Перед нами манипуляционное обоснование, в основе которого всегда лежат простейшие манипуляции, типа “подставить вместо”, являющиеся неформальными, геометрически очевидными действиями. Понимание того, что они обозначают, всегда негласно предполагается. Н.Малкольм сохранил следующую мысль Витгенштейна: “Доказательство в математике заключается в том, что уравнение записывают на бумаге и смотрят, как одно выражение вытекает из другого. Но если всегда подвергать сомнению выражения, которые появляются на бумаге, то не может существовать ни доказательств, ни самой математики” [17, с.90]. Вспоминаются также слова Г.Вейля: “Способ, каким математик обращается со своими формулами, построенными из знаков, немногим отличается от того, как столяр в своей мастерской обращается с деревом и рубанком, пилой и клеем” [7, с.58].

В эстетическом аспекте, как геометрическое, так и математическое доказательство вообще, предстает как демонстрация, т.е. непосредственный показ того, как соединяются, “стыкуются” элементы соответствующей математической конструкции. Результат же математического доказательства - математическое утверждение - есть, в интересующем нас аспекте, утверждение об особенностях соединения элементов математической конструкции, которое мы имели возможность “видеть” в процессе доказательства. Неслучайно математическое утверждение получило название теорема (theorema), т.е. “зрелище”, “то, что смотрят”.

Как известно, самый веский аргумент для обыденного мышления звучит приблизительно так: “Я сам видел, не веришь - пойди и посмотри”. Заслуживает внимания, что наиболее точная из теоретических наук - математика, составляющая как бы диаметральную противоположность обыденному знанию, черпает доказательную силу своих рассуждений в непосредственной наглядности своего предмета, т.е. также в возможности “увидеть самому” и “показать другому”. Можно сказать даже, что подлинной убедительностью, подлинной доказательной силой обладает только демонстрация (непосредственный показ). Как говорит Шопенгауэр: “Последняя, т.е. исконная очевидность, - созерцаема, что показывает уже само слово” [36, т.1, с.200].

Если бы не существовало обсуждавшихся выше естественных ограничений возможностей нашего наглядного представления пространственно-временных отношений (в восприятии слишком большого, слишком малого и т.п.), то, возможно, и математического доказательства, а тем самым и теоретической математики не возникло бы. Математикам не понадобилось бы идти далее лаконичного “смотри” древних индийцев или перегибания чертежа (как, по-видимому, обосновывал геометрические утверждения еще Фалес). Мы могли бы смело, вслед за Шопенгауэром [36, т.1, с.104-108, 196-216, т.2, с.212-214], возмутиться хитросплетениями доказательств от противного, производимых Евклидом там, где достаточно всего лишь перегнуть рисунок, и полагать, что самым лучшим обоснованием теоремы Пифагора является удачный чертеж без каких-либо комментариев.

Однако указанные ограничения существуют, и именно обговаривание соответствующих чертежей и их особенностей знаменовало рождение математики как таковой. Но математики не смогли бы продвинуться достаточно далеко в своих изысканиях, если бы не научились воплощать словесные рассуждения в квазигеометрические символические построения, т.е. не смогли бы вновь опереться на геометрическую оче-видность, но на качественно новом уровне. Именно слово (logos) оказывается тем связующим звеном, которое позволяет шагнуть от геометрического конструирования к квазигеометрическому манипулированию графическими символами (13) . “Посредством понятийного мышления - говорит Г.Рейхенбах - мы можем перейти от созерцания к преобразованному созерцанию. Человеческий разум обладает способностью, так сказать, “перехитрить” визуальные образы с помощью абстрактных понятий и после этого продуцировать новые образы” [26, с.67].

Уже при решении простейших задач геометрии, наряду с собственно геометрическим конструированием систематически применяется и квазигеометрическое конструирование. Возвращаясь к примеру с тысячеугольником, можно заметить, что хотя его наглядное представление и невозможно в той степени, в какой оно осуществимо для трех- или пятиугольника, однако, сохранить конструктивный характер соответствующих рассуждений легко удается посредством введения алгебраической символики, позволяющей рассуждать о соотношении углов и отрезков соответствующей конфигурации вне зависимости от числа сторон, а также различать, неразличимые в наглядном представлении многоугольники с тысячью и тысяча двумя сторонами. Там, где геометрическая наглядность нам отказывает, мы можем опереться на наглядность квазигеометрическую. При этом, как мы могли отвлекаться (абстрагироваться) от толщины геометрических линий и размера геометрических точек, так мы абстрагируемся и от конкретного очертания используемых нами алгебраических знаков, сосредотачивая внимание лишь на системе пространственно-временных отношений, с их помощью передаваемых.

То, что математик занимается при этом именно пространственно-временными отношениями, хорошо иллюстрируется широким применением в математике аксиоматического метода. Ведь главная его идея состоит в сведении определения объекта к указанию системы отношений, в которых этот объект может находиться с другими объектами той же теории.

Итак, в эстетическом аспекте математическое мышление предстает перед нами как пространственно-временное конструирование, которое может выступать либо в форме собственно геометрического конструирования, либо как квазигеометрическое конструирование, т.е. манипулирование графическими символами.

Что изучает математика?

Пространственно-временные конструкции.

Как она это делает?

Посредством разворачивания пространственно-временных конструкций другого уровня.

Такой взгляд на природу математики может быть охарактеризован как пангеометризм (14) . Для него ключем к пониманию специфики математического мышления является именно образный аспект математики, понятийно-логический же аспект рассматривается при этом как вторичный.

4. Математика мистиков, философов, поэтов и традиционная история

математики (Вместо заключения).

Разворачивание математических пространственно-временных конструкций способно вызывать особое чувство красоты, которое без сомнения служит важнейшим психологическим стимулом, как к профессиональным, так и к любительским занятиям математикой. Как всякая подлинная красота, математическое действо обладает магическим обаянием. Оно способно создать в нас ощущение прикосновения к тайне, а порой и религиозный восторг.

Это безошибочно угадал особенно чуткий к такого рода вещам Новалис (Фридрих фон Гарденберг, 1772-1801). В его “Фрагментах” (в первую очередь имеются в виду “гимны к математике”, как назвал их Вильгельм Дильтей) мы находим отчетливое выражение этих мыслей: “Истинная математика - подлинная стихия мага. Истинный математик есть энтузиаст per se. Без энтузиазма нет математики. Жизнь богов есть математика. Чистая математика - это религия. На Востоке истинная математика у себя на родине. В Европе она выродилась в сплошную технику” [19, с.153]. Новалис убежден, что поэт понимает природу лучше, чем ученый. Не ученому и созданной благодаря его усилиям технике дано овладеть миром, но поэту, способному расслышать сокровенный ритм мироздания. Не извне, но изнутри обретается мир. “Истинная математика” Новалиса - это та математика, которая позволяет нам уловить этот скрытый ритм. “Всякий метод есть ритм: если кто овладел ритмом мира, это значит, он овладел миром. У всякого человека есть свой индивидуальный ритм. Алгебра - это поэзия. Ритмическое чувство есть гений” [19, с.152].

Современная математическая культура мало располагает нас к пониманию того, что это за истинная математика (которая в то же время есть истинная поэзия, истинная религия и истинная магия), о которой так вдохновенно говорит Новалис (15) . Может быть поэтому мы так плохо понимаем и математику пифагорейско-платонической традиции, а также многие другие феномены европейской духовной культуры столь же необычно для нас воспринимающие математику и развивающие ее. И дело здесь не столько в культурной гордыне, сколько в реальных барьерах мешающих пробиться к существу реалий иной культуры. Пример того, что удается увидеть современному математику, обратившемуся к “второстепенным страницам истории” дает книга Дэна Пидоу “Geometry and the Liberal Arts” (1976). Автору остается лишь огорчаться, что мы утратили способность восхищаться природой простых геометрических фигур, и надеяться, что “неопифагорейские учения все же получат распространение в культуре грядущих поколений” [20, с.207]. Несомненно, более удачными следует признать попытки П.А.Флоренского и А.Ф.Лосева, которые и явились главными вдохновителями моего интереса к данной области, однако внимательное знакомство с их трудами еще раз убеждает насколько серьезные трудности приходится преодолевать на этом пути.

Мартин Дайк, автор монографии, посвященной математическим фрагментам Новалиса, говорит о своей книге: “Настоящее исследование отчасти предпринято для тех математиков-профессионалов, которым может случиться ознакомиться с фрагментами Новалиса и обнаружить, что математические понятия применяются здесь, хорошо или плохо, но к таким предметам, которые не принято рассматривать математически, которые не укладываются в рамки установившихся математических представлений, и это будет склонять их к выводу о том, что такие фрагменты не могут, вероятно, иметь какого-либо смысла. Можно принять с самого начала, что эти относящиеся к математике фрагменты философичны, но не техничны. С позиции строгого математика они неточны (unrigorous), произвольны (arbitrary) и не вносят никакого вклада в технические аспекты математической науки. Не успевает Новалис проникнуть в великолепное по своей стройности здание математики, как оказывается, что он уже успел незаконным образом расширить его границы (transgressed its boundaries), углубившись в джунгли философских идей, в которые ни один математик, оставаясь математиком, не решится за ним последовать, из опасения, что почва там слишком зыбкая (the ground too slippery) и доказательство бессильно укротить (and prove defenceless among) диких зверей, населяющих эти темные области”. Желая следить за полетом мысли Новалиса, уводящей нас в этом направлении, мы не можем обойтись без постоянной оглядки на официально принятые результаты, постоянного соотнесения с общепринятым содержанием тех математических областей, в которые он вторгается, однако “нам не следует использовать эти официальные стандарты в качестве абсолютных и пригодных для любой ситуации мерок (as measuring rods with absolute and exclusive value)”, и тогда “в его на первый взгляд фантастичных идеях о математике можно будет разглядеть глубокие прозрения о природе этой науки” [41, p.2-3].

То, что говорит М.Дайк о современном математике-профессионале, может быть, к сожалению, слишком часто повторено и о современном историке математики, над которым также в полной мере имеют власть стереотипы профессионального математического образования. В результате, мы попросту весьма плохо знаем “второстепенные” страницы истории математики, а тем более плохо представляем себе их роль в развитии того, что помещается нами на “основных” ее страницах. Книга М.Дайка представляет собой скорее исключение, чем правило. Но можно ли априори утверждать, что роль эта невелика, когда мы едва знаем в лицо тех, чью роль спешим умалить?

Историческое исследование неизбежно предполагает отбор материала. История культуры может быть уподоблена сложнейшей паутине, где каждое культурное событие есть “узелок”, связанный необозримым числом тончайших “нитей” с другими “узелками”. Поэтому, всякое изучение этой “паутины” состоит в выделении основных “узелков” и связей между ними, и игнорировании второстепенных. Однако, вызывает серьезные сомнения возможность адекватной и однозначной оценки “на глаз” того, какие “узелки” и какие “нити” являются основными. В отношении “зрительного восприятия” такой “паутины”, судя по всему, может и должен проявляться хорошо известный эффект переключения зрительного гештальта. При этом переключении выбор основных “узелков” и “нитей” может существенно изменяться. Какую конфигурацию “узлов” и “нитей” мы выделим из необозримого множества всех возможных, зависит от нашей установки. Что мы “увидим” (“два профиля” или “вазу”) зависит от нас. Наше математическое образование готовит нас к тому, чтобы всегда видеть “два профиля” и никогда “вазу”, но это вовсе не означает, что первое представляет собой адекватное выделение основного, тогда как второе - нет. Пафос настоящего доклада как раз и состоит в том, чтобы напомнить о возможности смотреть как на саму математику, так и на ее историю sub specie artis, т.е. видеть “вазу” там, где обычно видят лишь “два профиля”.

Приведем еще несколько примеров традиционно “второстепенных” страниц истории математики, которые, с проводимой нами точки зрения, оказываются в числе основных.

О йенском профессоре математики и астрономии Эрхарде Вейгеле (Erhard Weigel, 1625-1699) можно сейчас услышать в основном в связи с биографией Лейбница, на которого он оказал неоспоримое влияние. Некогда “всемирно известный”, “знаменитейший профессор математики”, создавший в Йене сильную школу математики и физики [10, с.135] в настоящее время практически полностью забыт. Уже для Морица Кантора математика Вейгеля всего лишь пример характерного для немецких университетов того времени отсутствия потребности в математике [29, с.8-9]. В настоящее время, многочисленные работы Вейгеля практически невозможно найти в библиотеках, они не переиздаются и не переводятся. Редко в каком энциклопедическом словаре найдешь статью о нем. В чем же дело? А дело в том, какой математикой занимался Вейгель.

В центре его внимания - создание единой системы знания (включающей в себя как богословие, так и все явления физического и социального порядка) на основе универсального логико-математического метода, и реформа на этой основе современной ему системы образования. Он убежден во всеобщей приложимости математического метода и стремится к сближению на этой почве всех отраслей человеческого знания. Его девиз: omnia mensura, numero et pondere. На основе сочетания метода Евклида (сведение содержания науки к ее основным элементам) и Аристотеля (выведение из этих элементов следствий посредством силлогизма) он стремится построить рациональную теорию науки, задача которой - познать мир как sillogismus realis. При этом аксиомы выступают как законы природы, а выводимые из них следствия являются не только необходимыми, но и реальными. Вейгель развивает идею “всеобщей математики” (Mathesis universae) или “пантометрии” (Pantometria), которая распространяется им не только на физический, но и на гражданский мир. Позднее он будет развивать мысль, что “пантогнозия” (Pantognosia), или способ точно знать, что бы то ни было, сводится к измерению и счету всех предметов познания, ибо достоверно только количественное знание. Отсюда естественно вытекает “пантология” (Pantologia) - взгляд на мир, как на такую систему вещей, в которой все имеет свою логику. В этом контексте он писал о моральной арифметике, т.е. о сведении всех нравственных качеств к количествам; разрабатывал практическую этику на арифметической основе; занимался изучением проблемы зла с математической точки зрения; доказывал “геометрически” бытие Божие и т.д. [29; 10, с.39-41].

Еще одна страничка истории математики, в интересующем нас аспекте, - это деятельность Юзефа Гоэнэ-Вронского (J.M.Hoёne-Wroсski, 1776-1853). Она, наряду с размышлениями Декарта, Вейгеля, Лейбница, Новалиса и многих других, оказывается важным “узелком” в истории весьма значимой для развития математики Нового времени идеи Mathesis Universalis. Как и Новалис, Вронский опирался в своих рассуждениях на философию математики Канта. Судьба математических работ польского математика-философа в XIX веке весьма напоминала судьбу наследия Вейгеля, а отношение к идеям Вронского со стороны общепризнаной математики В.В.Бобынин описывал так: “В продолжении всей его жизни официальная наука с настойчивостью, достойной лучшей участи, постоянно отказывала ему в признании научного значения его трудов по философии математики, хотя, строго говоря, в последователях его учения и не было недостатка” [6, с.10]. В процитированной работе 1886 года Бобынин называет Вронского “самым выдающимся, даже можно сказать, пока единственным, представителем философии математики - науки, только еще создающейся, но имеющей в будущем подчинить себе все дальнейшее развитие наук математических” [6, с.1]. Пророчество Бобынина о будущем значении работ Вронского пока не оправдалось. Правда, в XX веке философско-математическим сочинениям Вронского посчастливилось более: в 1925 г. они были переизданы, а в 1939 о “loi supreme” Вронского появилась статья такого крупного математика как Стефан Банах. Впрочем, как в прошлом веке, так и в нынешнем слишком подозрительной продолжает выглядеть для большинства математически образованных людей тесная связь математических рассуждений Вронского с “мессианизмом”, “абсолютной философией” и т.п. [40].

Убежденность в единственности привычного и общепринятого взгляда на то, что такое “настоящая математика”, не дает даже подойти к изучению философско-математических работ Новалиса, Вейгеля, Вронского, или Карла Эккартсхаузена (K. von Eckartshausen, 1752-1803). Эти работы написаны с точки зрения другого понимания математики и требуют для своего изучения умения посмотреть на них под тем углом зрения, под которым рассматривали их авторы, умение признать за этим углом зрения хотя бы минимальную, “стартовую”, ценность. На мой взгляд, здесь открывается обширное поле для исследований. Мои собственные первые робкие шаги в этом направлении и представлены в изложенных выше рассуждениях о математической мифологии и пангеометризме.

Примечания.

1. “Чувственное созерцание может быть сравнено с линией, а умственное - с кругом” [23, с.61]. Предлагаемая Плотином аналогия восходит к “Тимею” Платона.

2. Заслуживает всяческого внимания, что как приверженцы, так и противники математики в философии (философской математики, математизированной философии) находят главные свои аргументы у Платона, т.е., защищая диаметрально противоположные позиции, они развивают мысли происходящие из общего источника (Платон и неоплатоники). Как правило, такая странность связана с пониманием критики Платоном неправильного отношения к математике как решающего аргумента против математики вообще, а противоположности математического и диалектического методов как несовместимости математики и философии вообще (Кант, Гегель, В.Гамильтон). И в первом и во втором случае полностью игнорируется возможность и действенность математической диалектики.

3. Близкий образ встречается у Плотина: Единый (Единое) “созерцается во множестве существ, в большей или меньшей степени способных воспринять и отображать его в себе, но который отличен и обособлен от всех их, подобно тому, как один центр в круге остается один сам по себе, между тем как множество радиусов со всех точек периферии к нему сходятся” [23, с.66; курсив мой].

4. Аналогия, используемая Лейбницем в этом довольно мутном отрывке, может быть разъяснена следующим образом: как отрезки могут быть между собой либо соизмеримыми, либо - нет, причем, в первом случае, процедура нахождения общей меры, - показывающая, что один из отрезков составлен из тех же частей, что и другой, - может быть осуществлена за конечное число шагов, а во втором - уходит в бесконечность, так и истины могут быть либо необходимыми, либо случайными, причем, в первом случае, за конечное число шагов может быть показано, что предикат состоит из тех же частей, которые имеются в субъекте, а во втором - процедура анализа уходит в бесконечность.

5. П.А.Флоренский не ограничивался работой с математическими конструкциями как парадигмальными схемами. Он один из немногих, кто осознанно стремился к возрождению математического мифа в его полноте. Вслед за ним в этом направлении шел и А.Ф.Лосев.

6. Пространство и время определяются Кантом как обязательный компонент всякого созерцания: отбрасывая в созерцании все, что может быть отброшено, мы в конечном итоге получаем пространство и время в чистом виде. См. [11, т.3, с.64, т.4, с.38]. По существу, априорное созерцание (пространство и время) оказывается у Канта тем самым, что не может быть отброшено ни из какого созерцания, и обнаруживается нами в ходе мысленного эксперимента, состоящего в отбрасывании всего, что отбросить возможно.

7. Кстати сказать, эта, рецептивная, сторона геометрической мысли осталась не достаточно отмеченной Кантом. Чистое созерцание Канта, заменившее геометрическую материю платоников, не есть уже некая среда со своими собственными потенциями, которые и раскрываются в геометрических рассуждениях. В математике “понятие о предмете дается дефиницией первоначально”, “математические дефиниции создают само понятие”, а предмет рассмотрения математика “не может содержать в себе ни больше, ни меньше, чем понятие” [11, т.3, с.538-539]. Нет дефиниции, - нет понятия о предмете, а тем самым и самого предмета (содержащего в себе ровно столько, сколько понятие). Здесь как бы нет предмета, свойс
В принципе... это все, что я могу... Сорри если не то...
Тему не трите до завтра плиз.
а мну 20 страниц писать по Культурологии ааааааа!!! *рыдает*
вузя ты эму как родному сыну помогаешь =)
да просто нормально попросил, не тупил.. от чего ж не помочь-то? + делать было нечего... не занят я был.
необходим материал на тему "История развития водяных систем отопления"
Заранее спасибо))
Брат, поковыряй тут
http://www.rosteplo.ru/Tech_stat/stat_shablon.php?id=925
Люди кто нибудь знает сайт Сайт готовых домашних заданий, где можно посмотреть ответы к учебнику: enjoy english за 7 класс ?
посмотри может найдешь че нибудь.
http://www.spishy.ru/homework/
Автор, а решебники для чего сделаны?
Автор, а решебники для чего сделаны?
ребят, а учиться пробовали говорят помогает, школа - это полная халява, поймёте когда в ВУЗ поступите
вуз тоже халява
первые три месяца до отчисления
вуз тоже халява
Ну если "деньги заплатить", то да...
вуз тоже халява
Ну смотря какой ВУЗ, я говорю про нормальные гос. ВУЗы
народ!!!
сос!!!
нужно срочно...

доклад на тему...

соотношение категории общегражданской и семейной правспособности!!!
ХЭЛП!!!
Ищу учебник и гдз по русскому языку:
Пособие для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Д.Э.Розенталь. 2007(!) года.Издание 2.
Прошу помочь,очень нужно.
На здешнем сайте нет темы "Биология"? Срочно понадобилась
помогите найти программы для решения примеров и задач по математике! ПЛИЗ!
2 Maximilliano
Maple скачай например.
_Elrond_

спс, но никак не могу найти норм и на русском. Может знаешь ссылку на норм русский Maple?
http://massiveptr.com/pages/index.php?refid=vladkozlov">massiveptr.com
Хотите иметь лидерские качества ? Это формула. Каторая доступна.

Наша организация людей упорно работала над этим вопросом. Наша группа посещала курсы, читал книги о лидерстве, беседовали с успешными лидерами и это был не придел.

В конечном итоге мы нашли как упростить обучение лидерским качеств. Это с помощью формулы небольшого содержания.

У Вас есть возможность получить 2 вида наших разработаных содержаний для быстрого обученя лидерским качествам с помощью формулы

1)Это Краткое содержание разработаное нашей группой людей ,вы можете получить его отправив сообщение с текстом 4g 7202134 на номер в зависимости от вашего оператора

Билайн 7375
МТС 7375
МегаФон 7375

Стоимость 9,50 руб.

2)Это Полное более детальное содержание (с помощью каторого вы на 99% подымите свой потенциал) разработаное нашей группой людей ,вы можете получить его отправив сообщение с текстом 4g 7202134 на номер в зависимости от вашего оператора

Билайн 9395
МТС 9395
МегаФон 8385

Стоимость 27,10 руб

После отправки сообщения на ваш номер прийдёт сообщение, с текстом в катором будет название адреса ссылки.
Вам надо будет пареписать с вашего телефона в ваш браузер на компьютере название адреса, где вы сможете уже бесплатно скачать архив с нашим содержанием для быстрого обученя лидерским качествам с помощью формулы.
С нашим разработаным содержанием для быстрого обученя лидерским качествам с помощью формулы разберётся даже подросток.
В архивах содержаться ссылки на полезные сайты и сайты в сфере Лидерских качеств и главное на наш сайт ,(в открытую мы его не даём).
Если вы по какимто причинам не верите этому сообщению ,то мы советуем сохранить сообщение с текстом 4g 7202134 и указаными номерами потому что только с этим текстом и указанами номерами вы сможете так дёшиво скачать Содержание для быстрого обученя лидерским качествам с помощью формулы.
В ближайший месяц мы повысим стоимость на Содержание для быстрого обученя лидерским качествам с помощью формулы.

Желаю вам успехов!
простите что поднимаю старую тему
помогите найти гдз по Русскому языку, на "учебник практикум для старших классов"
авторы: Дейкина и Пахнов
всё излазил так и не нашёл.
может кто знает где и как лучше искать
заранее спасибо )
Обработка тематических текстов для русскоязычных интернет-ресурсов.
Схема проста и прозрачна: взял тему - написал текст - получил деньги. Выплаты ежедневные!
На выполнение одного заказа уходит не более часа работы. Деньги выплачиваются сразу после выполнения заказа.

Как начать работу: перейдите по ссылке на официальный сайт компании: http://gmsa.ru-internet.info
Авторизуйтесь, чтобы принять участие в обсуждении.